微积分学示例

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 x + 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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