微积分学示例

$\sum_{x = 1}^{4} x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

解题步骤 1

展开 $x$ 每个取值的序列。

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.2

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 + 3 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.6

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$7 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.7

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$8 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + 8 + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 + 8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$8 + 8 + 12 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.11

将 $8$ 和 $12$ 相加。

$8 + 20 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.12

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$8 + 20 + 6 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.13

将 $20$ 和 $6$ 相加。

$8 + 26 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.14

将 $26$ 和 $1$ 相加。

$8 + 27 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.15

将 $8$ 和 $27$ 相加。

$35 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$35 + 27 + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.17

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$35 + 27 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.18

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$35 + 27 + 27 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.19

将 $27$ 和 $27$ 相加。

$35 + 54 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.20

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$35 + 54 + 9 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.21

将 $54$ 和 $9$ 相加。

$35 + 63 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.22

将 $63$ 和 $1$ 相加。

$35 + 64 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.23

将 $35$ 和 $64$ 相加。

$99 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.24

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$99 + 64 + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.25

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$99 + 64 + 3 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.26

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$99 + 64 + 48 + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.27

将 $64$ 和 $48$ 相加。

$99 + 112 + 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.28

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$99 + 112 + 12 + 1$

解题步骤 2.29

将 $112$ 和 $12$ 相加。

$99 + 124 + 1$

解题步骤 2.30

将 $124$ 和 $1$ 相加。

$99 + 125$

解题步骤 2.31

将 $99$ 和 $125$ 相加。

$224$

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