微积分学示例

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt[5]{x} - 2 e^{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt[5]{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{5}} d x + \int - 2 e^{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C + \int - 2 e^{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 \int e^{x} d x$

解题步骤 7

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 (e^{x} + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$

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