微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sqrt{x + 2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.13

将 $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.4

化简。

$4 (x + 2) = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 8 = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x + 8 = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$4 x = - 8$

解题步骤 3.3.3.2

将 $4 x = - 8$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $4 x = - 8$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $4$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 < 0$

解题步骤 3.5

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x < - 2$

解题步骤 3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{x + 2} - 1$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{0} - 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 - 1$

解题步骤 4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- 2, - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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