微积分学示例

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

解题步骤 1

设 $x = f (x)$ ，对 $\ln (x) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ 重写为 $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

解题步骤 2.2

将 $\ln (e^{x} x^{3})$ 重写为 $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

解题步骤 2.4

通过将 $3$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{3})$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

解题步骤 2.5

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 1)}^{4})$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

解题步骤 2.6

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

解题步骤 2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (f (x))$ 的左边求导。

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ 求导。

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.2.3

求微分。

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解题步骤 3.2.3.1

根据加法法则， $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.5

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.2.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.5.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

解题步骤 3.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 3.2.6.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 3.2.6.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 3.2.7

求微分。

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解题步骤 3.2.7.1

组合 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $4$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.2.7.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.2.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.2.7.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

解题步骤 3.2.7.5

合并为一个分式。

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解题步骤 3.2.7.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

解题步骤 3.2.7.5.2

化简。

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解题步骤 3.2.7.5.2.1

将 $\frac{4}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

解题步骤 3.2.7.5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

解题步骤 3.2.7.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

解题步骤 3.2.7.5.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

解题步骤 3.2.8

要将 $\frac{3}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

解题步骤 3.2.9

要将 $\frac{x + 5}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

解题步骤 3.2.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

解题步骤 3.2.10.2

将 $\frac{x + 5}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

解题步骤 3.2.10.3

重新排序 $(x + 1) x$ 的因式。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

解题步骤 3.2.11

在公分母上合并分子。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

解题步骤 3.2.12

将 $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ 乘以 $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

解题步骤 3.2.13

化简。

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解题步骤 3.2.13.1

运用分配律。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.2

运用分配律。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.3

运用分配律。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.13.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.13.4.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.4.2

将 $3 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.5

合并项。

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解题步骤 3.2.13.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

解题步骤 3.2.13.6

重新排序项。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

解题步骤 3.2.13.7

从 $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.2.13.7.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

解题步骤 3.2.13.7.2

从 $3 \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

解题步骤 3.2.13.7.3

从 $4 \ln (x + 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

解题步骤 3.2.13.7.4

从 $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

解题步骤 3.2.13.7.5

从 $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

解题步骤 3.2.13.8

将 $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

解题步骤 4

分离出 $x'$ ，将原函数代入右边的 $x$ 。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

合并指数。

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解题步骤 5.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

解题步骤 5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (x + 1)$ 。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

解题步骤 5.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ 和 $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ 。

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ 中的因式重新排序。

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

微积分学 示例

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