微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.3

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $0 + 5 \cdot 0$ 和 $2 + 0$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

重新排序项。

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0) + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.3

从 $0 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.4

从 $2 (0) + 2 (0 \cdot 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.5

约去公因数。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 0}$

解题步骤 8.1.5.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 8.1.5.3

从 $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

解题步骤 8.1.5.4

约去公因数。

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

解题步骤 8.1.5.5

重写表达式。

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

将 $0$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

解题步骤 8.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 8.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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