微积分学示例

${(x + x y + y)}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + x y + y$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x y + y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

解题步骤 1.3

使用 $x + x y + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + x y + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.6

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

解题步骤 2.7

将 $1 + y$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$

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