微积分学示例

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ 重写为 $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ 。

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

解题步骤 3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (4)$

解题步骤 3.3

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (8)$

解题步骤 3.4

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

解题步骤 3.5

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $\ln (8)$ 处和在 $\ln (4)$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

$\ln (8)$ 约为 $2.07944154$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

解题步骤 7.2

$\ln (4)$ 约为 $1.38629436$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

解题步骤 7.3

将 $\ln (8)$ 重写为 $\ln (2^{3})$ 。

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

解题步骤 7.4

通过将 $3$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{3})$ 。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

解题步骤 7.5

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

解题步骤 7.6

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

解题步骤 7.7

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

解题步骤 7.7.2

重写表达式。

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

小数形式：

$0.20273255 \dots$

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