微积分学示例

$\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 1

因为 $70$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ 。

$70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 x^{2} + 8)}^{2}$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 3.3

将 ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} + 8$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $3 x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 (3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 5.2

从 ${(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 8$ 。

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 8$ 。

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 8$ 。

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 ${(3 x^{2} + 8)}^{4}$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 8$ 。

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 7

根据加法法则， $3 x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 11

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 12.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{2}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 17

从 $3 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$70 \frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 18

组合 $70$ 和 $\frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ 。

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.2

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1

将 $- 9$ 乘以 $70$ 。

$\frac{- 630 x^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.2.2

将 $70$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 630 x^{2} + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.3

从 $- 630 x^{2} + 560$ 中分解出因数 $70$ 。

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解题步骤 19.3.1

从 $- 630 x^{2}$ 中分解出因数 $70$ 。

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.3.2

从 $560$ 中分解出因数 $70$ 。

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.3.3

从 $70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)$ 中分解出因数 $70$ 。

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.4

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{70 (- (9 x^{2}) + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.5

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{70 (- (9 x^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.6

从 $- (9 x^{2}) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{70 (- (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.7

将 $- (9 x^{2} - 8)$ 重写为 $- 1 (9 x^{2} - 8)$ 。

$\frac{70 (- 1 (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

解题步骤 19.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{70 (9 x^{2} - 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

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