微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + \tan (\frac{5 x}{2})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

解题步骤 4

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{5 x}{2})$

解题步骤 5

因为项 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

解题步骤 6

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

约去公因数。

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

解题步骤 7.1.1.2

重写表达式。

$\sin (π) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

解题步骤 7.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (0) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

解题步骤 7.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

解题步骤 7.1.4

乘以 $\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$0 + \tan (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 7.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 7.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$0 + \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

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