微积分学示例

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 1 + x + y$ 且 $g (y) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 + x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [x]$ 相加。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.7

将 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 6.3

使用 $1 + x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 12

根据加法法则， $1 + x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 13

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 15

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 16

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 相加。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 18

化简项。

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解题步骤 18.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 18.2

组合 $\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 18.3

约去公因数。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 18.4

重写表达式。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2

化简分子。

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解题步骤 19.2.1

使 $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.2.1.1

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.1.2

运用分配律。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.1.3

化简。

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解题步骤 19.2.1.3.1

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.1.3.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 19.2.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - (y \cdot y)}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.1.3.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y^{2}}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.2

使用 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3

化简。

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解题步骤 19.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.3.1.1

将 ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 19.2.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3.1.2

化简。

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3.2

合并 $1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 19.2.3.2.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y + 0}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.2.3.2.2

将 $1 + x^{2} - y - x y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.3

合并项。

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解题步骤 19.3.1

将 $\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 19.3.2

将 $\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 19.3.3

通过指数相加将 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 19.3.3.1

将 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 19.3.3.1.1

对 $1 + x^{2} + y^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

解题步骤 19.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 19.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 19.4

重新排序项。

$\frac{x^{2} - x y - y + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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