微积分学示例

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y^{3}$ 。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${(y^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

解题步骤 2.5.2

从 $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $y^{3} x'$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 3 x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $y^{6}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$y x' - 3 x = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x'$ 的方程。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$y x' = 3 x$

解题步骤 5.2.2

将 $y x' = 3 x$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $y x' = 3 x$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{3 x}{y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$

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