微积分学示例

$\int (7 + t) \sqrt{t} d t$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (7 + t) t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2

展开 $(7 + t) t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1} t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

解题步骤 2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 4

由于 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 。

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$7 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{14 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{14}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

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