微积分学示例

$\int (\frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3} d x$

解题步骤 4

展开 $(x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int (x^{6} + 5 x^{9}) x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int x^{6} x^{- 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{6 - 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.4

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{3} + 5 x^{9 - 3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.6

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{3} + 5 x^{6} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.7

将 $x^{3}$ 和 $5 x^{6}$ 重新排序。

$\int 5 x^{6} + x^{3} - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

解题步骤 10

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 12.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 12.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$

解题步骤 12.4

重新排序项。

$\frac{5}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$

微积分学 示例

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