微积分学示例

${(3 - 5 x)}^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 3 - 5 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - 5 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $3 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.5

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

解题步骤 1.2.7

将 $- 25$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ 。

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 - 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - 5 x$ 。

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $3 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 2.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 2.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.6

将 $- 5$ 乘以 $- 100$ 。

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.8

将 $500$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $500$ 对于 $x$ 是常数，所以 $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ 。

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 - 5 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - 5 x$ 。

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $500$ 。

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6

将 $- 5$ 乘以 $1500$ 。

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 3.3.8

将 $- 7500$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$

微积分学 示例

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