微积分学示例

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (r)$ 的不定积分求函数 $F (r)$ 。

$F (r) = \int f (r) d r$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 6

$\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ 对 $r$ 的积分为 $\arctan (r) + C$ 。

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{r^{4}}$ 重写成 $r^{\frac{4}{5}}$ 。

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

解题步骤 9

根据幂法则， $r^{\frac{4}{5}}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ 。

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

解题步骤 10

化简。

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ 的不定积分。

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

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