微积分学示例

$\int_{- 2}^{1} (- 3 x^{\frac{8}{3}} - 5 x^{2} + 2 x - 3) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{1} - 3 x^{\frac{8}{3}} - 5 x^{2} + 2 x - 3 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{1} - 3 x^{\frac{8}{3}} d x + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 3

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int_{- 2}^{1} x^{\frac{8}{3}} d x + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{8}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}}$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{3}{11}$ 和 $x^{\frac{11}{3}}$ 。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 6

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

代入并化简。

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解题步骤 13.1.1

计算 $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11}) - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.1.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.1.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.1.4

计算 $- 3 x$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5

化简。

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解题步骤 13.1.5.1

一的任意次幂都为一。

$- 3 (\frac{3 \cdot 1}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.3

一的任意次幂都为一。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.4

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.5

将负号移到分数的前面。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.7

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.8

在公分母上合并分子。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{1 + 8}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.9

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.10

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.10.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.5.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.10.2.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.10.2.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.10.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \cdot 3 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.11

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.12

一的任意次幂都为一。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.13

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.14

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.14.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.14.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.5.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.14.2.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.14.2.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.14.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 2) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.16

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.18

在公分母上合并分子。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.19

化简分子。

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解题步骤 13.1.5.19.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 \frac{1 - 4}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.19.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{- 3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.20

将负号移到分数的前面。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (- \frac{3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.21

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 - 2 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.22

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 2 \cdot 3}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.23

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 6}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.24

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.24.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.24.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.5.24.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.24.2.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.24.2.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 3}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.24.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 - 3 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.25

从 $- 15$ 中减去 $3$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.26

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 + 3 \cdot - 2$

解题步骤 13.1.5.27

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 - 6$

解题步骤 13.1.5.28

从 $- 3$ 中减去 $6$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 9$

解题步骤 13.1.5.29

从 $- 18$ 中减去 $9$ 。

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

运用分配律。

$- 3 (\frac{3}{11}) - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

解题步骤 13.2.1.2

乘以 $- 3 (\frac{3}{11})$ 。

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解题步骤 13.2.1.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{11}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 3}{11} - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

解题步骤 13.2.1.2.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9}{11} - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

解题步骤 13.2.1.3

乘以 $- 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11})$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 9}{11} + 3 \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

解题步骤 13.2.1.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$ 。

$\frac{- 9}{11} + \frac{3 (3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}})}{11} - 27$

解题步骤 13.2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

解题步骤 13.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

解题步骤 13.2.2

要将 $- 27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{11}{11}$ 。

$- \frac{9}{11} - 27 \cdot \frac{11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 13.2.3

组合 $- 27$ 和 $\frac{11}{11}$ 。

$- \frac{9}{11} + \frac{- 27 \cdot 11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 9 - 27 \cdot 11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 13.2.5

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1

将 $- 27$ 乘以 $11$ 。

$\frac{- 9 - 297}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 13.2.5.2

从 $- 9$ 中减去 $297$ 。

$\frac{- 306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 13.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

小数形式：

$- 38.20844324 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例