微积分学示例

$\int_{- 2}^{3} [y - (y^{2} - 6)] d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{3} y - (y^{2} - 6) d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{3} y d y + \int_{- 2}^{3} - (y^{2} - 6) d y$

解题步骤 3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - (y^{2} - 6) d y$

解题步骤 4

乘以 $- (y^{2} - 6)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} - - 6 d y$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} + 6 d y$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - \int_{- 2}^{3} y^{2} d y + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 6 y]_{- 2}^{3}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3}$ 和 $6 y]_{- 2}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 6 y]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

解题步骤 11.2

代入并化简。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2} + 6 y$ 在 $3$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

解题步骤 11.2.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3

化简。

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解题步骤 11.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.4

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.5

组合 $18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.7.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.7.2

将 $9$ 和 $36$ 相加。

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.8

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.10

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.10.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.11

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{45}{2} - (2 - 12) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.12

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$\frac{45}{2} - - 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{45}{2} + 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.14

要将 $10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.15

组合 $10$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{45 + 10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.17

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.17.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{45 + 20}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.17.2

将 $45$ 和 $20$ 相加。

$\frac{65}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.18

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{65}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.19

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.19.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.19.2.2

约去公因数。

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.19.2.3

重写表达式。

$\frac{65}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.19.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.3.20

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{- 8}{3})$

解题步骤 11.2.3.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{65}{2} - (9 - - \frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.3.22

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{65}{2} - (9 + 1 (\frac{8}{3}))$

解题步骤 11.2.3.23

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{65}{2} - (9 + \frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.3.24

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{65}{2} - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.3.25

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{65}{2} - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.3.26

在公分母上合并分子。

$\frac{65}{2} - \frac{9 \cdot 3 + 8}{3}$

解题步骤 11.2.3.27

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.27.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{65}{2} - \frac{27 + 8}{3}$

解题步骤 11.2.3.27.2

将 $27$ 和 $8$ 相加。

$\frac{65}{2} - \frac{35}{3}$

解题步骤 11.2.3.28

要将 $\frac{65}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3}$

解题步骤 11.2.3.29

要将 $- \frac{35}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 11.2.3.30

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.30.1

将 $\frac{65}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 11.2.3.30.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 11.2.3.30.3

将 $\frac{35}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.3.30.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{6}$

解题步骤 11.2.3.31

在公分母上合并分子。

$\frac{65 \cdot 3 - 35 \cdot 2}{6}$

解题步骤 11.2.3.32

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.32.1

将 $65$ 乘以 $3$ 。

$\frac{195 - 35 \cdot 2}{6}$

解题步骤 11.2.3.32.2

将 $- 35$ 乘以 $2$ 。

$\frac{195 - 70}{6}$

解题步骤 11.2.3.32.3

从 $195$ 中减去 $70$ 。

$\frac{125}{6}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{125}{6}$

小数形式：

$20.8\overline{3}$

带分数形式：

$20 \frac{5}{6}$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例