微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{1 + 1}$

解题步骤 12.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 12.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

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