微积分学示例

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{9}{32} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

解题步骤 2

由于 $- \frac{3}{32}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{3}{32}$ 移到积分外。

$- \frac{3}{32} \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{3}{16}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{16}$ 移到积分外。

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $3$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$- \frac{3}{32} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $3$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

解题步骤 7.3

计算 $\frac{9}{32} x$ 在 $3$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $27$ 。

$- \frac{3}{32} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.3

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{32} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.3.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} \cdot - 1) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{32} (9 + 1 (\frac{1}{3})) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{32} (9 + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.7

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{32} (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.8

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{32} (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.10

化简分子。

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解题步骤 7.4.10.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{27 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.10.2

将 $27$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{28}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.11

将 $\frac{28}{3}$ 乘以 $\frac{3}{32}$ 。

$- \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.12

将 $28$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{84}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.13

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$- \frac{84}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.14

约去 $84$ 和 $96$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.14.1

从 $84$ 中分解出因数 $12$ 。

$- \frac{12 (7)}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.14.2.1

从 $96$ 中分解出因数 $12$ 。

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.14.2.2

约去公因数。

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.14.2.3

重写表达式。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.17

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.19

在公分母上合并分子。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{9 - 1}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.20

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.21

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.21.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.21.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.21.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.21.2.2

约去公因数。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.21.2.3

重写表达式。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.21.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot 4 + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.22

组合 $\frac{3}{16}$ 和 $4$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 4}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.23

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{12}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.24

约去 $12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.24.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{4 (3)}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.24.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.24.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.24.2.2

约去公因数。

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.24.2.3

重写表达式。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.25

要将 $\frac{3}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.26

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 7.4.26.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.26.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.27

在公分母上合并分子。

$\frac{- 7 + 3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.28

化简分子。

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解题步骤 7.4.28.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 7 + 6}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.28.2

将 $- 7$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.29

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.30

组合 $\frac{9}{32}$ 和 $3$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{9 \cdot 3}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.31

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

解题步骤 7.4.32

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + 1 (\frac{9}{32})$

解题步骤 7.4.33

将 $\frac{9}{32}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + \frac{9}{32}$

解题步骤 7.4.34

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{8} + \frac{27 + 9}{32}$

解题步骤 7.4.35

将 $27$ 和 $9$ 相加。

$- \frac{1}{8} + \frac{36}{32}$

解题步骤 7.4.36

约去 $36$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.36.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{4 (9)}{32}$

解题步骤 7.4.36.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.36.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

解题步骤 7.4.36.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

解题步骤 7.4.36.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{8} + \frac{9}{8}$

解题步骤 7.4.37

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 9}{8}$

解题步骤 7.4.38

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$\frac{8}{8}$

解题步骤 7.4.39

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.39.1

约去公因数。

$\frac{8}{8}$

解题步骤 7.4.39.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例