微积分学示例

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x^{3}}$ 重写成 ${(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(3 (x^{3}))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $3 (x^{3})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})]$

解题步骤 4.1.2.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

$arcsec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.2.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 4.3.2

化简项。

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解题步骤 4.3.2.1

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 4.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.9

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

解题步骤 4.10

化简表达式。

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解题步骤 4.10.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

解题步骤 4.10.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11

化简分母。

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解题步骤 4.11.1

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.11.1.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.11.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.11.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.11.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.11.2

化简 $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12

化简。

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解题步骤 4.12.1

对 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2

合并项。

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解题步骤 4.12.2.1

将 ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.12.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.12.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.2

计算指数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.3

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.12.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.12.2.3.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

解题步骤 4.12.2.3.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 4.12.3

将 $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 4.12.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.12.4.1

将 $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

解题步骤 4.12.4.2

移动 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

解题步骤 4.12.4.3

对 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

解题步骤 4.12.4.4

对 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

解题步骤 4.12.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.12.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

解题步骤 4.12.4.7

将 ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ 重写为 $3 x^{3} - 1$ 。

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解题步骤 4.12.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ 重写成 ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.12.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.12.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.12.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.12.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.12.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

解题步骤 4.12.4.7.5

化简。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

微积分学 示例

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