微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

解题步骤 5.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 10.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 10.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

解题步骤 13

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

解题步骤 14.2

计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

解题步骤 14.3

计算 $\sin (u)$ 在 $π$ 处和在 $- π$ 处的值。

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 14.4.2

在公分母上合并分子。

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 14.4.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 14.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.4.1

约去公因数。

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 14.4.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

解题步骤 15.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

解题步骤 15.1.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

解题步骤 15.1.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

解题步骤 15.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

解题步骤 15.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 15.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

解题步骤 15.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$2 + \frac{1}{2} π$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$2 + \frac{π}{2}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 + \frac{π}{2}$

小数形式：

$3.57079632 \dots$

解题步骤 17

微积分学 示例

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