微积分学示例

$\int_{0}^{4} π {(\sqrt{x})}^{2} d x$

解题步骤 1

将 ${(\sqrt{x})}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{4} π {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

解题步骤 1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{4} π x^{1} d x$

$\int_{0}^{4} π x^{1} d x$

解题步骤 1.5

化简。

$\int_{0}^{4} π x d x$

$\int_{0}^{4} π x d x$

解题步骤 2

由于 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $π$ 移到积分外。

$π \int_{0}^{4} x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$π (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

约去公因数。

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.3

重写表达式。

$π (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$π (8 - \frac{0^{2}}{2})$

$π (8 - \frac{0^{2}}{2})$

$π (8 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (8 - \frac{0}{2})$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (8 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 4.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.2

约去公因数。

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.3

重写表达式。

$π (8 - \frac{0}{1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (8 - 0)$

$π (8 - 0)$

$π (8 - 0)$

解题步骤 4.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (8 + 0)$

解题步骤 4.2.2.6

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$π \cdot 8$

解题步骤 4.2.2.7

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$8 π$

$8 π$

$8 π$

$8 π$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$8 π$

小数形式：

$25.13274122 \dots$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$