微积分学示例

$\int 2 x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

解题步骤 2

展开 $x^{2} {(x + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$2 \int x^{2} ((x + 2) (x + 2)) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.7

运用分配律。

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.8

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot x) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.9

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.10

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

解题步骤 2.11

移动 $x^{2}$ 。

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \int x^{2} x^{1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \int x^{2 + 1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \int x^{3} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \int x^{3} x^{1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \int x^{3 + 1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.17

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 \int x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \int x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \int x^{4} + 2 x^{2 + 1} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.24

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.25

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$2 \int x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int x^{4} d x + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$2 (\frac{x^{5}}{5} + x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + x^{4} + \frac{4}{3} x^{3}) + C$

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