微积分学示例

$y = (1 + x^{2}) \arctan (x) - x$

解题步骤 1

根据加法法则， $(1 + x^{2}) \arctan (x) - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + x^{2}$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.6

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

解题步骤 4.2

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$1 + 2 x \arctan (x) - 1$

解题步骤 4.3

合并 $1 + 2 x \arctan (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 x \arctan (x) + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $2 x \arctan (x)$ 和 $0$ 相加。

$2 x \arctan (x)$

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