微积分学示例

$f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int 7 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\int 7 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\int 7 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\int \frac{7 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{7 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\int \frac{7 \cdot 1 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.4.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{7 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.4.3

从 $7$ 中减去 $3$ 。

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

将 $1$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

用 $7 x^{2} + 4$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$7$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					+	$7 x^{2}$	+	$0$	+	$7$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{2} + 0 + 7$ 中的所有符号

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$
									-	$3$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 7 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$7 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$7 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$7 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 10.2

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 10.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 11

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$7 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

解题步骤 12

化简。

$7 x - 3 \arctan (x) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $7 x - 3 \arctan (x) + C$

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