微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

解题步骤 2

将 $4 x^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 3

从 $9 + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1

从 $9$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

解题步骤 3.3

从 $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

解题步骤 5

将 $\frac{9}{4}$ 重写为 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\arctan (\frac{2 x}{3})$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

解题步骤 7.1.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2

化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

解题步骤 7.2.2.4

合并。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.5

运用分配律。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.6.1

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.6.2

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.10

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.10.1

从 $- 6 \arctan (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.10.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.10.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.10.2.4

用 $- 2 \arctan (0)$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.2.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

解题步骤 7.2.2.12

约去 $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.12.1

从 $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

解题步骤 7.2.2.12.2

从 $- 2 \arctan (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

解题步骤 7.2.2.12.3

从 $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

解题步骤 7.2.2.12.4

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.12.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

解题步骤 7.2.2.12.4.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.2.2.12.4.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

因为项 $\frac{1}{6}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

解题步骤 8.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

解题步骤 8.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

解题步骤 8.4

由于 $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ ，因此将 $\frac{2 t}{3}$ 代入 $t$ ，并使 $t$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

解题步骤 8.5

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，极限为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

解题步骤 8.6

计算 $\arctan (0)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

解题步骤 8.7

化简答案。

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解题步骤 8.7.1

化简每一项。

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解题步骤 8.7.1.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

解题步骤 8.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 8.7.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 8.7.3

乘以 $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.7.3.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 8.7.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{12}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{12}$

小数形式：

$0.26179938 \dots$

微积分学 示例

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