微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.2

通过将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 1.3

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} 2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 和 $2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.2

代入并化简。

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解题步骤 3.2.1

计算 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 在 $x$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x}}$

微积分学 示例