微积分学示例

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

解题步骤 1

将 $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用分配律。

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

解题步骤 6.2

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

解题步骤 6.8

提取负因数。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

解题步骤 6.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

解题步骤 6.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

解题步骤 6.11

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

解题步骤 6.12

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例