微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 3

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 6

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 lim_{x \to - 2} x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 lim_{x \to - 2} \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 11

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 13

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

解题步骤 15

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 lim_{x \to - 2} x^{3}}$

解题步骤 16

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 17

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 17.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 17.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 17.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

解题步骤 17.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18

化简答案。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\ln (- 6 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.2

将 $- 6$ 和 $7$ 相加。

$\frac{\ln (1) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0 - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.4

通过指数相加将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 18.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 18.1.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0 + {(- 2)}^{1 + 3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.4.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0 + {(- 2)}^{4}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.5

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{0 + 16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.1.6

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$\frac{16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2

化简分母。

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解题步骤 18.2.1

化简每一项。

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解题步骤 18.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.1.2

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 18.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{16}{3 \tan (- 4 + 4) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{16}{3 \tan (0) - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{16}{3 \cdot 0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 18.2.5

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16}{0 - 3 \cdot - 8}$

解题步骤 18.2.6

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{16}{0 + 24}$

解题步骤 18.2.7

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$\frac{16}{24}$

解题步骤 18.3

约去 $16$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (2)}{24}$

解题步骤 18.3.2

约去公因数。

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解题步骤 18.3.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.2.2

约去公因数。

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

解题步骤 18.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3}$

微积分学 示例

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