微积分学示例

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 5.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 12

将 $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 14.1.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 14.1.3

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 14.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 14.3.3

重写表达式。

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 14.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 14.4.2

约去公因数。

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 14.4.3

重写表达式。

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = 4 x e^{2 x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

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