微积分学示例

$5 y^{3} + x y + x^{3} + 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 y^{3} + x y + x^{3} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 y^{3} + x y + x^{3} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$15 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 y^{2} y' + x y' + y + 3 x^{2}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$3 x^{2} + 15 y^{2} y' + x y' + y$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 15 y^{2} y' + x y' + y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$15 y^{2} y' + x y' + y = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$15 y^{2} y' + x y' = - 3 x^{2} - y$

解题步骤 5.2

从 $15 y^{2} y' + x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $15 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (15 y^{2}) + x (y') = - 3 x^{2} - y$

解题步骤 5.2.2

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (15 y^{2}) + y' (x) = - 3 x^{2} - y$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (15 y^{2}) + y' (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$

解题步骤 5.3

将 $y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$ 中的每一项除以 $15 y^{2} + x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (15 y^{2} + x) = - 3 x^{2} - y$ 中的每一项都除以 $15 y^{2} + x$ 。

$\frac{y' (15 y^{2} + x)}{15 y^{2} + x} = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $15 y^{2} + x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (15 y^{2} + x)}{15 y^{2} + x} = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{15 y^{2} + x} + \frac{- y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y)}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (3 x^{2}) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y)}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (3 x^{2} + y)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y)}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2} + y}{15 y^{2} + x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y}{15 y^{2} + x}$

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