微积分学示例

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (1 - x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

解题步骤 2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{1 - x}$ 。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4.1.2

将 $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x$ 除以 $- x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 8.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = - x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0 + 1$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 8.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = - x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1 + 1$

解题步骤 8.5.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

解题步骤 12

组合 $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ 和 $- x]_{0}^{1}$ 。

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\ln (1 - x) x - x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

解题步骤 13.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 13.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 13.3.3

零的自然对数无定义。

无定义

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 13.4

零的自然对数无定义。

无定义

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 14

零的自然对数无定义。

无定义

微积分学 示例

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