微积分学示例

$f (x) = \arctan (x^{2})$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{1 + x^{4}}$ 。

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

解题步骤 1.1.2.3.2

组合 $\frac{2}{1 + x^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x^{4} + 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.6.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

化简。

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解题步骤 1.2.7.1

运用分配律。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.3

从 $- 6 x^{4} + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.7.3.1

从 $- 6 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.3.3

从 $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.4

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.6

从 $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.7

将 $- (3 x^{4} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x^{4} - 1)$ 。

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $3 x^{4} - 1$ 除以 $1$ 。

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x^{4} = 1$

解题步骤 2.3.3

将 $3 x^{4} = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 x^{4} = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.3.5

化简 $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

解题步骤 2.3.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 2.3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 2.3.5.4.2

对 $\sqrt[4]{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 2.3.5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

解题步骤 2.3.5.4.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

解题步骤 2.3.5.4.5

将 ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.5.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

解题步骤 2.3.5.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

解题步骤 2.3.5.4.5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 2.3.5.4.5.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.4.5.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 2.3.5.4.5.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.3.5.4.5.5

计算指数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.5.1

将 ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{3^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

解题步骤 2.3.5.5.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 2.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 2.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 2.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 代入 $f (x) = \arctan (x^{2})$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ 重写为 $\sqrt{27}$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.1.5

将 $27^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{27}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.3

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

解题步骤 3.1.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

解题步骤 3.1.2.3.2

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

解题步骤 3.1.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 3.1.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 3.1.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3.1.2.4

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 代入 $f (x) = \arctan (x^{2})$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 代入 $f (x) = \arctan (x^{2})$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 3.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将 ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ 重写为 $\sqrt{27}$ 。

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解题步骤 3.3.2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.1.5

将 $27^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{27}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.2.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.3.3

从根式下提出各项。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

解题步骤 3.3.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.4.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

解题步骤 3.3.2.4.2

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.4.2.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

解题步骤 3.3.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.4.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 3.3.2.4.2.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 3.3.2.4.2.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3.3.2.5

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 3.4

通过将 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 代入 $f (x) = \arctan (x^{2})$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.85983568$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.85983568$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0.54659022$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $1.63977068$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 0.85983568$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0.54659022$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $1.54659022$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.63977068$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $1.27954136$ 除以 $2.39194133$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

解题步骤 5.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0.53493843$ 。

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- 0.53493843$ 。

$- 0.53493843$

解题步骤 5.3

在 $- 0.85983568$ ，二阶导数为 $- 0.53493843$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 6.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $2$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.85983568$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.85983568$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0.54659022$ 。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

从 $1.63977068$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0.85983568$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0.54659022$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $1.54659022$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.63977068$ 。

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $1.27954136$ 除以 $2.39194133$ 。

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0.53493843$ 。

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 0.53493843$ 。

$- 0.53493843$

解题步骤 7.3

在 $0.85983568$ ，二阶导数为 $- 0.53493843$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ 。

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例