微积分学示例

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

从 $6 x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

解题步骤 1.3

从 $x \cdot 6 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

解题步骤 2

配方。

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解题步骤 2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

$x \cdot 6 + x (- x)$

解题步骤 2.1.2

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 \cdot x + x (- x)$

解题步骤 2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$6 \cdot x - x \cdot x$

解题步骤 2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

移动 $x$ 。

$6 x - (x \cdot x)$

解题步骤 2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 x - x^{2}$

解题步骤 2.1.5

将 $6 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + 6 x$

解题步骤 2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

解题步骤 2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

移动 $\frac{3}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$d = - 3$

解题步骤 2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

解题步骤 2.5.2.1.3

用 $36$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 9$

解题步骤 2.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$e = 0 + 9$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$e = 9$

解题步骤 2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - 3)}^{2} + 9$ 。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x - 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 - 3$

解题步骤 3.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 6 - 3$

解题步骤 3.5

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

解题步骤 4.2

将 $- u^{2}$ 和 $3^{2}$ 重新排序。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\arcsin (\frac{u}{3})$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

解题步骤 6.2.1.2

重写表达式。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

解题步骤 6.2.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去公因数。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.2.3

重写表达式。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

解题步骤 6.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

解题步骤 7.1.2

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} - 0$

解题步骤 7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} + 0$

解题步骤 7.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2}$

小数形式：

$1.57079632 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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