微积分学示例

$\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

用 $2 x^{2} + 5$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$2 x^{2}$

+

$0 x$

+

$5$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
						+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} + 0 + 2$ 中的所有符号

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
						-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
						-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
										+	$3$

解题步骤 4.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

解题步骤 10

化简。

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$