微积分学示例

$3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.12

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.2.13.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.8

在公分母上合并分子。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.10

将负号移到分数的前面。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.13.2

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.13.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.13.4

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

微积分学 示例

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