微积分学示例

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x}{y}}$ 重写成 ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 8

因为 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2 y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2

对 $\frac{y}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3

合并项。

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解题步骤 12.3.1

将 $\frac{1}{2 y}$ 乘以 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.3.3.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 12.3.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4

重新排序项。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

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