微积分学示例

${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

解题步骤 7

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 12

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1)$

解题步骤 14

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

重新排序 $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$ 的因式。

$(6 x^{2} + 2 x - 6) \frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.2

将 $6 x^{2} + 2 x - 6$ 乘以 $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{(6 x^{2} + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3

化简分子。

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解题步骤 15.3.1

从 $6 x^{2} + 2 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 15.3.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 (x) - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3.1.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3.1.4

从 $2 (3 x^{2}) + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3.1.5

从 $2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + x - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 (3 x^{2} + x - 3)}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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