微积分学示例

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.2.1

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $- e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4

从 $e^{x} x - 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4.2

从 $- 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$e^{x} (x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.3.3

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $e^{x} (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{e^{x}}{x - 1}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{2}}{1}$

解题步骤 4.1.2.2

用 $e^{2}$ 除以 $1$ 。

$e^{2}$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{1}}{0}$

解题步骤 4.2.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(2, e^{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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