微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

解题步骤 3

将 $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.7.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.7.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.7.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.7.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.6

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.10

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.11

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.13

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.14

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.16

将 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.17

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.17.1

从 $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.17.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.17.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.18.1

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.18.2.1

合并 $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.18.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18.2.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18.2.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18.3

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.19

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

解题步骤 4.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

解题步骤 4.3.21

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

解题步骤 4.5

合并因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 6.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

运用分配律。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

解题步骤 6.1.3.2

运用分配律。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

解题步骤 6.1.3.3

运用分配律。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.4

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.8

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.8.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

解题步骤 6.1.3.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

解题步骤 6.1.3.8.3

将 $- 1 x$ 和 $x$ 相加。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

解题步骤 6.1.3.8.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

解题步骤 6.1.3.9

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 6.1.3.10

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 6.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

解题步骤 6.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

解题步骤 6.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.4

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.8

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

解题步骤 6.3.9

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 6.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 6.3.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

解题步骤 6.3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

解题步骤 6.3.13

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

解题步骤 6.3.14

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

解题步骤 6.3.15

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

解题步骤 6.3.16

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

解题步骤 6.4

简化。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.1

约去公因数。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

解题步骤 6.4.1.2

重写表达式。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

解题步骤 6.4.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

约去公因数。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

解题步骤 6.4.2.2

重写表达式。

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{2}$

小数形式：

$7.38905609 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例