微积分学示例

$x^{5} (x + 1) (x - 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5} (x + 1)$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4.4.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

解题步骤 1.4.6

将 $5$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.4

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.6

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.7

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8

合并项。

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解题步骤 1.5.8.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.1.1

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.1.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.5.8.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.5.8.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.3.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.4

将 $- 1 x^{5}$ 重写为 $- x^{5}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.8.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.5.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.5.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.8

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.8.9.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.9.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.9.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.10

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.14

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.15

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

解题步骤 1.5.8.16

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.17

将 $- 5 x^{5}$ 和 $5 x^{5}$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.18

将 $5 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.19

将 $x^{6}$ 和 $5 x^{6}$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.20

将 $x^{6}$ 和 $6 x^{6}$ 相加。

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.21

从 $x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

解题步骤 1.5.8.22

将 $7 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 2.2.3

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 (4 x^{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 20 x^{3}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

解题步骤 4.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4

求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4.4.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.6

将 $5$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.5

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.6

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.7

运用分配律。

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8

合并项。

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解题步骤 4.1.5.8.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.1.1

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.1.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.3.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.4

将 $- 1 x^{5}$ 重写为 $- x^{5}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.5.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.5.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.8

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.9.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.9.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.9.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.10

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.14

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.15

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

解题步骤 4.1.5.8.16

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.17

将 $- 5 x^{5}$ 和 $5 x^{5}$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.18

将 $5 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.19

将 $x^{6}$ 和 $5 x^{6}$ 相加。

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.20

将 $x^{6}$ 和 $6 x^{6}$ 相加。

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.21

从 $x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.5.8.22

将 $7 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 。

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

解题步骤 5.2

从 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $7 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$x^{4} (7 x^{2}) - 5 x^{4} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{4}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{4}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{4} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $7 x^{2} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $7 x^{2} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$7 x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $7 x^{2} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$7 x^{2} = 5$

解题步骤 5.5.2.2

将 $7 x^{2} = 5$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $7 x^{2} = 5$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{5}{7}$

解题步骤 5.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

解题步骤 5.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{5}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 5.5.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 5.5.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

解题步骤 5.5.2.4.4.2

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 5.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 5.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 5.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$42 {(0)}^{5} - 20 {(0)}^{3}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$42 \cdot 0 - 20 {(0)}^{3}$

解题步骤 9.1.2

将 $42$ 乘以 $0$ 。

$0 - 20 {(0)}^{3}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 20 \cdot 0$

解题步骤 9.1.4

将 $- 20$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7})$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 7 {(- 3)}^{6} - 5 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (- 3) = 7 \cdot 729 - 5 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $729$ 。

$f' (- 3) = 5103 - 5 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 3) = 5103 - 5 \cdot 81$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$f' (- 3) = 5103 - 405$

解题步骤 10.2.2.2

从 $5103$ 中减去 $405$ 。

$f' (- 3) = 4698$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $4698$ 。

$4698$

解题步骤 10.3

将区间 $(- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.42$ ）代入一阶导数 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 0.42$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.42) = 7 {(- 0.42)}^{6} - 5 {(- 0.42)}^{4}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 0.42$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (- 0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $7$ 乘以 $0.00548903$ 。

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 0.42$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0.03111696$ 。

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

解题步骤 10.3.2.2

从 $0.03842322$ 中减去 $0.1555848$ 。

$f' (- 0.42) = - 0.11716157$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 0.11716157$ 。

$- 0.11716157$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, \frac{\sqrt{35}}{7})$ 内的任一数字（例如 $0.42$ ）代入一阶导数 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $0.42$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.42) = 7 {(0.42)}^{6} - 5 {(0.42)}^{4}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $0.42$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(0.42)}^{4}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $7$ 乘以 $0.00548903$ 。

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 {(0.42)}^{4}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $0.42$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0.03111696$ 。

$f' (0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

解题步骤 10.4.2.2

从 $0.03842322$ 中减去 $0.1555848$ 。

$f' (0.42) = - 0.11716157$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 0.11716157$ 。

$- 0.11716157$

解题步骤 10.5

将区间 $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $7 x^{6} - 5 x^{4}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 7 {(3)}^{6} - 5 {(3)}^{4}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.1.1

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (3) = 7 \cdot 729 - 5 {(3)}^{4}$

解题步骤 10.5.2.1.2

将 $7$ 乘以 $729$ 。

$f' (3) = 5103 - 5 {(3)}^{4}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (3) = 5103 - 5 \cdot 81$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$f' (3) = 5103 - 405$

解题步骤 10.5.2.2

从 $5103$ 中减去 $405$ 。

$f' (3) = 4698$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $4698$ 。

$4698$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是极大值。

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是极小值。

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = x^{5} (x + 1) (x - 1)$ 的局部极值。

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极大值

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极小值

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极大值

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例