微积分学示例

$\int e^{\frac{2 x}{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{2 x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{2}{3} d x$ ，以便 $\frac{3}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{2 x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{2 x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{3}$ 。

$\int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{u} \frac{3}{2} d u$

解题步骤 2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u$

解题步骤 2.4

将 $3$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$\int \frac{3 e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{3}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{3}{2} e^{u} + C$

解题步骤 6

使用 $\frac{2 x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} + C$

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