微积分学示例

$- x^{3} y + y^{3} = x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- x^{3} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} y + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3} y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.5

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2}) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{3} y' - 3 y x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 3 y^{2} y' = 2 x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $3 x^{2} y$ 。

$- x^{3} y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2

从 $- x^{3} y' + 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $- x^{3} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3}) + 3 y^{2} y' = 2 x + 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2.2

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3}) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 3 x^{2} y$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (- x^{3}) + y' (3 y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3} + 3 y^{2}) = 2 x + 3 x^{2} y$

解题步骤 5.3

将 $y' (- x^{3} + 3 y^{2}) = 2 x + 3 x^{2} y$ 中的每一项除以 $- x^{3} + 3 y^{2}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $y' (- x^{3} + 3 y^{2}) = 2 x + 3 x^{2} y$ 中的每一项都除以 $- x^{3} + 3 y^{2}$ 。

$\frac{y' (- x^{3} + 3 y^{2})}{- x^{3} + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{- x^{3} + 3 y^{2}} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

约去 $- x^{3} + 3 y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x^{3} + 3 y^{2})}{- x^{3} + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{- x^{3} + 3 y^{2}} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 x}{- x^{3} + 3 y^{2}} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 x + 3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $2 x + 3 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x \cdot 2 + 3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $3 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x \cdot 2 + x (3 x y)}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $x \cdot 2 + x (3 x y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 + 3 x y)}{- x^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (2 + 3 x y)}{- (x^{3}) + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (2 + 3 x y)}{- (x^{3}) - (- 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $- (x^{3}) - (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (2 + 3 x y)}{- (x^{3} - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.6

重写负数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.6.1

将 $- (x^{3} - 3 y^{2})$ 重写为 $- 1 (x^{3} - 3 y^{2})$ 。

$y' = \frac{x (2 + 3 x y)}{- 1 (x^{3} - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x (2 + 3 x y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (2 + 3 x y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例