微积分学示例

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - e$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - e$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x - e$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x - e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ 。

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.4

因为 $- e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 2.6

将 $e^{x - e}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{1}{e}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{e}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

要将 $e^{x - e}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

解题步骤 5.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

解题步骤 5.1.3

要将 $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

解题步骤 5.1.4

要将 $- \frac{1}{e}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x e$ 的形式。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ 乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

解题步骤 5.1.5.3

重新排序 $x e$ 的因式。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

解题步骤 5.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$

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