微积分学示例

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

解题步骤 1

因为 $20$ 对于 $t$ 是常数，所以 $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ 对 $t$ 的导数是 $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ 。

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + e^{10 - t}$ 。

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

解题步骤 2.3

使用 $1 + e^{10 - t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 + e^{10 - t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ 相加。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 10 - t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $10 - t$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

解题步骤 4.3

使用 $10 - t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $10 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 5.2

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $- 20$ 。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

解题步骤 5.7

将 $e^{10 - t}$ 乘以 $1$ 。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $20$ 和 $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ 。

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ 和 $e^{10 - t}$ 。

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$

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