微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $e^{x^{2}} - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^{2}} x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2 e^{x^{2}} x + \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{2 x}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.4

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.8.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x e^{x^{2}} + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x^{1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1 + 1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.10

将 $2$ 移到 $e^{x^{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 \cdot e^{x^{2}} + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.11

将 $e^{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.4

将 $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{1}$

解题步骤 3.4

用 $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.5

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.8

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 4.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (0 \cdot 1 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0} + \cos (0))$

解题步骤 6.1.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 + \cos (0))$

解题步骤 6.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 2 + \cos (0))$

解题步骤 6.1.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 2 + 1)$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 3$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

微积分学 示例

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