微积分学示例

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7

展开 $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7.6

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 12

化简。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

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