微积分学示例

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

解题步骤 1

展开 ${(2 + y^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 + y^{2})}^{2}$ 重写为 $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ 。

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

解题步骤 1.5

将 $y^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

解题步骤 1.8

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

解题步骤 1.9

将 $2 y^{2}$ 和 $2 y^{2}$ 相加。

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

解题步骤 1.10

将 $4 y^{2}$ 和 $y^{4}$ 重新排序。

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

解题步骤 1.11

移动 $4$ 。

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

解题步骤 3

根据幂法则， $y^{4}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{5} y^{5}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

解题步骤 5

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$

微积分学 示例

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