微积分学示例

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x^{3} + 3 x$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{3} + 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ 的因式。

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.2

将 $2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ 和 $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ 重新排序。

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.3

将 $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.4

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

解题步骤 4.8

运用分配律。

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

解题步骤 4.10

将 $3$ 移到 $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ 的左侧。

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

解题步骤 4.11

将 $6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ 中的因式重新排序。

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$

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